Основы теории вероятностей (терминология)

Терминология

Случайный эксперимент – это любой эксперимент, результат которого не определяется начальными условиями. Пример: подбрасываение кубика.

Элементарный исход (ω, “омега”) – это любой возможный исход случайного эксперимента. Пример: выпадение какой либо грани.

Пространство элементарных исходов (ω, “омега”) – множество всех возможных элементарных исходов эксперимента.

Ω = {ω₁,ω₂,ω₃,ω₄,ω₅,ω₆}

Случайное событие – подмножество пространства элементарных исходов случайного эксперимента. Пример: в случае с кубиком, нас интересует выпадение четного количества очков.

Случайная величина (ξ, “кси”) – функция, ставящая в соответствие каждому элементарному исходу некоторое число из множества (в общем случае) действительных чисел. Пример: Если кубик имеет не пронумерованные, а цветные грани, то мы каждой грани назначаем некоторый вес (действительное число) и это позволяет перейти к оперированию числами.

ξ: Ω → R

Вероятность (P) – это мера, которая выражает возможность данного события по отношению к другим исходам.

m – объем пространства элементарных исходов

A – случайное событие эксперимента

k – объем множества элементарных исходов

P (A) = k / A

Пример: выпадения четного количества очков на кубике пространства элементарных исходов объема 6. Множество элементарных исходов, которое соответсвует интересующему нас случайному событию – 3.

Статистическая вероятность

Что делать, если мы не можем четко определить ни пространство элементарный исходов, ни множество элементарных исходов, которое соответствует интересующему нас случайному событию? Проводим некоторое количество экспериментов.

A – некоторое случайное событие. Которое нас интересует как результат эксперимента, которое может произойти, либо не произойти.

n – количество экспериментов. Выборка реализации случайного эксперимента.

n_{A –}количество удачных экспериментов

Частота выпадения A и называется статистической вероятностью.

P* (A) = n_A/ n

Чем больше количество экспериментов, тем точнее статистическая вероятность оценивает некоторую истинную вероятность события, которая в общем случае нам неизвестна.

Свойства вероятности

Первое свойство вероятности

Вероятность несуществующего события равно нулю

P (Ø) = 0

P – вероятность

Ø – несуществующее событие

Второе свойство вероятности

P (Ā) = 1 – P(A)

A – некоторое событие

Ā – обратное событие

Третье свойство вероятности

Если событие A вложено в B, либо входит в B, то вероятность возникновения A меньше, чем вероятность возникновения события BЕсли A ⊃ B, то P(A) ≤ P(B)

Следствие третьего свойства

Четвертое свойство вероятности

Вероятность любого события, всегда находится между 0 и 1

0 ≤ P(A) ≤ 1

Пятое свой свойство вероятности

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Свойство независимых событий

Свойства A и B называются независимыми, если вероятность их совместного события равна произведению вероятностей их событий по отдельности.

P(AB) = P(A)P(B)

Пример: если я буду кидать игральную кость и кидать монетку. То выпадения значений на кости и монетки совершенно не будут зависеть друг от друга. Могу даже кость потерять и от этого вероятность выпадения орла на монетке никак не изменится.

Характеристики случайных величин

Случайная величина – функция, перевода из множества элементарных исходов в множество действительных чисел.

Непрерывные случайные величины – переводят пространство элементарных исходов во множество действительных чисел.

Пример: Время до какого то события, до прибытия транспорта на остановку.

Дискретные случайные величины – переводят пространство элементарных исходов в некоторое конечное, либо, в общем случае, счетное множество. Пример: подбрасывание игрального кубика. Переводит из пространства элементарных исходов в 6ть граний, в числовое пространство от 1 до 6ти.